2024年湖南成考高起点《数学（理）》重点知识复习(四)

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　　[例2]已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈[0, ]都成立?若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.

　　命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.

　　知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

　　错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.

　　技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.

　　解：∵f(x)是R上的奇函数，且在[0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),

　　即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.

　　设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0，1]上的值恒为正，又转化为函数g(t)在[0，1]上的最小值为正.

　　∴当 <0,即m<0时，g(0)=2m-2>0 m>1与m<0不符;

　　当0≤ ≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=- +2m-2>0

　　4-2

　　当 >1,即m>2时，g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2

　　综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4-2 .

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